Mathematiker entdecken, welche Form eine Wand perfekt bedecken kann, ohne zu wiederholen: Erklärung des „Einstein-Problems“ in der Geometrie

Mathematiker haben sich lange gefragt, ob es eine „Einstein-Platte“ gibt – eine Form, die einzeln verwendet werden kann, um ein nicht wiederkehrendes (nicht periodisches) Muster in unendlich großem Maßstab zu erzeugen. Hier ist „Einstein“ ein Theaterstück über Deutsch Auge Stein Oder „one stone“ – nicht zu verwechseln mit Albert Einstein, dem berühmten deutschen Physiker.

Die Mathematiker David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Shem Goodman-Strauss passen in die neue 13-seitige Form des Gesetzentwurfs und lösen ein Problem, das Wissenschaftler seit Jahrzehnten verwirrt.

Aperiodische Kachelung

Ein Satz von Kacheltypen (oder Prototypen) wird als azyklisch betrachtet, wenn Kopien dieser Kacheln nur Muster bilden können, ohne sich zu wiederholen.

1961 sagte der Mathematiker Hao Wang voraus, dass nichtperiodisches Kacheln unmöglich sei. Aber sein Schüler Robert Berger bestritt dies und fand 104 Gruppen von Kacheln, die, wenn sie zusammen angeordnet würden, niemals ein sich wiederholendes Muster bilden würden.

In den 1970er Jahren fand der mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Physiker Roger Penrose einen Satz von nur zwei Teilen, die in einem unendlich sich nicht wiederholenden Muster zusammen angeordnet werden konnten. Dies ist heute als Penrose-Fliesen bekannt und wurde in Kunstwerken auf der ganzen Welt verwendet.

Einsteins Problem in der Geometrie

Aber seit der Entdeckung von Penrose haben Mathematiker nach dem „heiligen Gral“ der nicht periodischen Kachelung gesucht – einer einzelnen oder monochromatischen Form, die einen Raum endlos füllen kann, ohne das Muster, das sie erzeugt, zu wiederholen.

Während Formen, die perfekt in ein Flugzeug passen, allgemein bekannt sind – denken Sie nur an rechteckige Badezimmerfliesen oder sechseckige Fliesen, die Fußwege pflastern – suchen Sie nach einer, die genau richtig passt. Und Wiederholen Sie dieses Muster noch nicht darum herum.

Mathematiker nennen dies das Einstein-Geometrieproblem. Dieses Problem beschäftigt Mathematiker seit Jahrzehnten und viele glauben, dass es einfach keine Antwort auf dieses Problem gibt.

sagte die Mathematikerin Sarah Hart von der University of London Die neue Welt.

Entdeckung

Eine kürzliche Entdeckung, eine 13-seitige Form, die ihre Befürworter als „Hut“ bezeichneten, bot jedoch eine täuschend einfache Lösung.

Ein Hut besteht aus acht Kopien eines 60°-90°-120°-90°-Drachens, die Kante an Kante verbunden sind, und kann auf eine unendliche Familie von Kacheln mit derselben nicht rotierenden Eigenschaft verallgemeinert werden. Die Form behält auch ihre nicht periodischen Eigenschaften, wenn die Seitenlängen geändert werden, was bedeutet, dass die Lösung tatsächlich ein Kontinuum ähnlicher Formen ist.

Die Figur wurde zuerst von David Smith, einem Amateur-Mathematiker aus England, entdeckt. Smith sagte, als er gefragt wurde, wie er diese Fliese entdeckt habe Die New York Times„,“ Ich spiele immer herum und experimentiere mit Formen.

Smith arbeitete dann eng mit zwei Informatikern und einem anderen Mathematiker zusammen, um zwei Beweise zu entwickeln, die zeigen, dass der „Hut“ tatsächlich ein nicht periodisches Einstein-ähnliches Monogramm ist.

sagte Goodman Strauss, einer der vier, denen die Entdeckung zugeschrieben wird Die neue Welt Sowohl das Auffinden der Kacheln als auch der Nachweis ihrer Unregelmäßigkeit erforderten den Einsatz leistungsstarker Computer und menschlichen Einfallsreichtums.

„Sie suchen buchstäblich nach einem von einer Million. Sie filtern 999.999 langweilige Teile heraus, und dann erhalten Sie etwas Seltsames, und dann lohnt es sich, das weiter zu erforschen“, sagte er. „Und dann fangen Sie an, es manuell zu untersuchen und zu versuchen, es zu verstehen, und Sie fangen an, die Struktur abzuziehen. Hier wird ein Computer wertlos, da ein Mensch daran beteiligt sein muss, Beweise zu erstellen, die ein Mensch verstehen kann. ”

Anwendungen und Effekte

Während eine solche Entdeckung für Mathematiker kaum mehr als eine interessante Kuriosität erscheinen mag, gibt es wahrscheinlich viele Anwendungen für diese Entdeckung.

Erstens wird aperiodisches Kacheln Physikern und Chemikern helfen, die Struktur und das Verhalten von Quasikristallen zu verstehen, bei denen es sich um Strukturen handelt, in denen Atome angeordnet sind, aber kein sich wiederholendes Muster aufweisen.

Zweitens können neu entdeckte Fliesen ein Sprungbrett für innovative Kunst sein. „Du wirst Leute sehen, die dieses Zeug ins Badezimmer stellen, weil es cool ist“, sagte Colin Adams, Professor für Mathematik am Williams College, Massachusetts.

Er fügte hinzu: „Ich würde es in mein Badezimmer stellen, wenn ich es jetzt kacheln würde.“