Mathematiker leiten Termgleichungen ab

Die Störung macht viele Menschen völlig unwohl oder ängstlich. Die Forscher bereiteten ihm auch Kopfschmerzen. Mathematiker versuchen seit einem Jahrhundert oder länger, die Turbulenzen zu verstehen, die entstehen, wenn Strömung mit Grenzen interagiert, aber die Formulierung hat sich als schwer fassbar erwiesen.

Jetzt ein internationales Team von Mathematikern, geleitet von einem Professor der University of California, Santa Barbara Björn Berner und Professorin Luisa Angeluta von der Universität Oslo haben eine vollständige Beschreibung von BMD veröffentlicht. Das Blatt erscheint als Physische Überprüfungsforschungund stellt jahrzehntelange Arbeiten zu diesem Thema zusammen. Die Theorie vereint experimentelle Beobachtungen mit der Navier-Stokes-Gleichung – der mathematischen Grundlage der Strömungslehre – zu einer mathematischen Formel.

Dieses Phänomen wurde erstmals um 1920 von dem ungarischen Physiker Theodor von Karmann und dem deutschen Physiker Ludwig Brantl beschrieben, zwei prominenten Sternen der Fluiddynamik. „Sie bewegten sich in Richtung einer sogenannten Grenzschichtstörung“, sagte Bernier, Direktor des Center for Complex and Nonlinear Science. Diese Turbulenzen treten auf, wenn die Strömung mit Grenzen wie der Flüssigkeitsoberfläche, der Rohrwand, der Erdoberfläche usw.

Brantel entdeckte experimentell, dass er die Grenzschicht basierend auf der Nähe der Grenze in vier verschiedene Regionen unterteilen konnte. Neben der Grenze bildet sich eine viskose Schicht, in der die Turbulenz durch die Dicke der Strömung gedämpft wird. Als nächstes kommt die Übergangspufferregion, gefolgt von der Trägheitsregion, in der die Turbulenz vollständig entwickelt ist. Schließlich gibt es die Mahnwache, bei der die Grenzschichtströmung nach einer Formel von Kármán von der Grenze beeinflusst wird.

Das Fluid strömt schneller von der Grenze weg, aber seine Geschwindigkeit ändert sich auf ganz bestimmte Weise. Seine mittlere Geschwindigkeit nimmt in der viskosen und isolierenden Schicht zu und geht dann in der Trägheitsschicht in eine logarithmische Funktion über. Dieses von Brantel und von Karmann gefundene „Gesetz der Aufzeichnungen“ hat Forscher verblüfft, die daran gearbeitet haben, zu verstehen, woher es kommt und wie es zu beschreiben ist.

Auch die Strömungsvarianz – oder Abweichung von der mittleren Geschwindigkeit – zeigte ein merkwürdiges Verhalten über die Grenzschicht. Die Forscher versuchten, diese beiden Variablen zu verstehen und Formeln abzuleiten, die sie beschreiben könnten.

In den 1970er Jahren schlug der australische Maschinenbauingenieur Albert Alan Townsend vor, dass die Form der Durchschnittsgeschwindigkeitskurve durch mit der Grenze verbundene Wirbel beeinflusst wird. Wenn dies zutrifft, könnte dies die seltsame Form der Kurve über die verschiedenen Schichten sowie die Physik hinter dem Logarithmusgesetz erklären, sagte Bernier.

Schneller Vorlauf ins Jahr 2010, und Mathematiker der University of Illinois veröffentlichten a Offizielle Beschreibung Von diesen angebrachten Wirbeln, einschließlich Formeln. Die Studie beschrieb auch, wie diese Wirbel Energie von der Grenze zum Rest der Flüssigkeit übertragen können. „Es gibt eine ganze Hierarchie von Wirbeln“, sagte Bernier. Kleinere Wirbel geben größeren Energie, die die Trägheitsschicht erreichen, was zur Erklärung des Logarithmusgesetzes beiträgt.

Es gibt aber auch separate Wirbel, die sich im Fluid ausbreiten können und auch bei der Störung der Grenzschicht eine wichtige Rolle spielen. Bernier und Kollegen konzentrierten sich darauf, eine formale Beschreibung davon abzuleiten. „Was wir in diesem Papier gezeigt haben, ist, dass Sie diese diskreten Wirbel auch in die Theorie einbeziehen müssen, um die genaue Form der mittleren Geschwindigkeitskurve zu erhalten“, sagte er.

Ihr Team kombinierte all diese Ideen, um die mathematische Formel für mittlere Geschwindigkeit und Varianz abzuleiten, die Brantel und von Karmann vor etwa 100 Jahren zum ersten Mal schrieben. Anschließend verglichen sie ihre Formeln mit Computersimulationen und experimentellen Daten und validierten ihre Ergebnisse.

„Schließlich gab es ein vollständiges analytisches Modell, das das System erklärte“, sagte Bernier. Mit dieser neuen mathematischen Formel können Wissenschaftler und Ingenieure verschiedene Parameter ändern, um das Verhalten einer Flüssigkeit vorherzusagen.

Grenzschichtstörungen treten in allen möglichen Bereichen auf, vom Transport bis zur Meteorologie und darüber hinaus. „Ich denke, es wird viele Anwendungen geben“, sagte Bernier. Ein richtiges Verständnis der Grenzstörung kann beispielsweise dazu beitragen, Motoren effizienter zu machen, Schadstoffe zu reduzieren und den Widerstand aller Fahrzeugtypen zu senken.

Die Erdatmosphäre kann als Grenzströmung ausgebildet sein. Trotz ihrer scheinbaren Höhe ist die Atmosphäre eine dünne Kruste aus bewegter Luft, die sich an der Oberfläche des Planeten anschmiegt. „Ich denke, irgendwann werden wir diese Theorie nutzen können, um sowohl atmosphärische Turbulenzen als auch den Jetstream zu verstehen“, sagte Bernier. „Es wäre sehr nützlich.“

Die Autoren waren überrascht, wie wichtig diskrete Wirbel sind, insbesondere für die Erklärung der Turbulenzübertragung in der Isolierschicht. Die Untersuchung ihres Verhaltens beginnt, Einblicke in andere Arten von Störungen zu geben.

„Insbesondere erhalten wir Einblicke in die Lagrange-Turbulenz“, sagte Bernier und bezog sich dabei auf die Theorie, die das turbulente Verhalten eines Referenzhimmels beschreibt, der sich mit der Strömung bewegt, wie ein Floß auf einem Fluss. Dies steht im Gegensatz zur Turbulenztheorie von Eulerian, die eine Flüssigkeit beschreibt, die sich durch einen festen Bezugsrahmen bewegt, wie ein Pier an einem Flussufer. Die daran befestigten Wirbel verschwinden im sich bewegenden Bezugssystem – genauso wie die Strömung zu verschwinden scheint, während sie stromabwärts fließt. „Aber diskrete Wirbel sind immer noch vorhanden, und sie scheinen eine wichtige Rolle bei der Lagrange-Störung zu spielen“, sagte Bernier.

Das Team konzentriert sich derzeit auf die Erforschung der Lagrange-Störung mit diesen neuen Werkzeugen, die ursprünglich aus der Arbeit an homogenen Störungen stammen, bei denen es keine Grenzen gibt. „Die Erkenntnisse, die Sie in einem Bereich erhalten, helfen Ihnen in einem anderen“, bemerkte Bernier.